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[交流] 問問題專區

數學特別版(一)
答應過要給個數學版的,於是我就來了∼
難度設定是部分數學比賽向的(不過也不會到很難,因為我其實也不太擅長XD ),部分是大學數學基礎。
有part a的題目當然有part b,不過遲一點才會出現。

[Number]
有一個七進制三位數字ABC(每個英文字母代表一個數字),換成十進制的話會變成另一個三位數字DEF。
(例如:3007 = 14710)
已知:
1) 所有數字皆不同,而且E>A>C>B>D>F。
2) DEF除以7,餘數是4。(當然是在十進制裡運算)
求ABC和DEF。
(=星之卡比=答對)

[Probability]
a) 擲硬幣,平均要多少次才能把正反都擲到過?
(eg. 正反、反反正)
(=星之卡比=答對)

[Cardinality]
a) 一個集合的元素個數可以是有限(finite)或無限個(infinite)。無限可以分為可數(countably infinite)和不可數(uncountable),兩者的意思有什麼分別?
(答案在下面)

[Analysis]
a) 設f是一個在實數上定義的函數。
「如果f(0) < 0 和 f(1) > 0,則必然存在一個在0和1之間的數,x,使得f(x) = 0」為什麼不一定對?
f要有什麼特性才能使上述句子變得正確?
(=星之卡比=答對)

=================================
題解
1)
—從第二項「2) DEF除以7,餘數是4。(當然是在十進制裡運算)」直接得知,C是4。(為什麼?)
—因此,E>A>4>B>D>F。
—由於ABC是七進制的數字,所以A只可以是5或6。
—如此一來,DEF只可能是200多或300多的數。
—因為4>B>D>F,所以B=3,D=2。
—現在A347 = 2EF10
—試放A=6,失敗;故A=5,然後再算出2EF = 6 * 7^2 + 3 * 7 + 4 = 270
ABC=534;DEF=270。


2)
=星之卡比=提供的方法是正確的。

我介紹一個稍有不同的方法。
首先第一下,不論投出正或反,都會完成要求(正反都出現過)的一半。
因此重點其實是,之後平均要擲多少次,另一個才會出現。
不妨假設第一下是正,X = 反出現所需的次數
E[X] = Sum of (次數*概率) = 1*1/2 + 2*(1/4) + 3*(1/8) + ...
(E[X]是期望徝,X是隨機變數)
留意E[X]/2 = 1*1/4 + 2*(1/8) + 3*(1/16) + ...
          = (1*1/2 + 2*(1/4) + 3*(1/8) + 4*(1/16)...) - (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...)
          = E[X] - 1
E[X] = 2。
其實一般來說這是幾何分佈,如果成功概率是p的話,那麼得到一次成功所需次數的期望值就是1/p,證明方法跟上面的類似。

因此最終平均是要1+2=3次。
什麼?你問可不可以就這樣加起來?答案是可以的,因為兩件事是獨立事件,期望徝可以直接加起來。(這樣說不夠嚴謹,不過聽得懂就好。)


3)

如果該集可以跟自然數集可以一一對應(存在有一個Bijection雙映函數),該集就定義為可數。
例子:
假設A是裝著所有雙數的集,A = {2,4,6,8,10,...}
那麼f: A->N(自然數集) f(x) = x/2就是一個雙映函數。(因為我們會有一一對應:2對應著1、4對應著2、6對應著3……2n對應著n)
因此A這個集是可數的。
如果不可能的話,就是不可數。(參考: Cardinality)


4)
陳述的反例:
f(x) = -1 when x < 1/2
f(x) = 1 when x >= 1/2。
條件:最小的條件是要在[0,1]上連續。此為介值定理(intermediate value theorem)的應用。


[ 本帖最後由 路人 於 2016-7-14 21:37 編輯 ]
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數學特別版(二)

由於有人說只學到sincostan,所以我就特意出一題啦∼
[Basic Trig]
cos 1° * cos 2° * ... * cos 89° * cos 90° = ?
(baby耀西答對)

然後是上面三題的第二部分。
[Probability]
b) 擲骰子,平均要多少次才能把所有數字都擲到過?
(baby耀西在茶坊答對)

題解
我不肯定有沒有其他解題方法,但以下是一般教科書上寫的方法,是個頗美麗的解法。
其實我們可以把題目要求當成是六件事:擲出特定的N個數字的其中一個(N=6,5,4,3,2,1)。
例如說,一開始是「擲出1或2或3或4或5或6」,概率是1,一定成功。
假如擲到1,之後我的目標是「擲出2或3或4或5或6」,成功率是5/6。
跟著擲到3,之後我的目標是「擲出2或4或5或6」,成功率是4/6……
這六件事一定都要經歷過,才會達致我們的目標。而我們要做的,就是算出每個事件裡,擲骰次數的期望值。
怎麼算?
在PART A裡,我們提及過幾何分佈吧?就是它了!如果成功機率是P的話,一直做試驗直至一次成功,所需次數的期望值是1/p
因此,「擲出1或2或3或4或5或6」的所需次數的期望值是1/1=1。
「擲出2或3或4或5或6」的所需次數的期望值是1/(5/6)=6/5。
「擲出2或4或5或6」的所需次數的期望值是1/(4/6)=6/4……
如此類推,答案是6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1=14.7次


[Cardinality]
b) 有理數和無理數都是有無限個的,它們是可數還是不可數?
(答案: 有理數可數,無理數不可數,有人想知原因我可以補充)

[Analysis]
b) 以下是一個我相當喜歡的一個命題XD,所以特意問:
「在地球的大圓上(例如赤道),必定存在一個地方,它的氣温和對面(對蹠點)的氣温是相等的。」(不一定是氣温,其他連續變化的東西也可以)
這個結果要如何證出來呢?(提示:Part a)
(答案: 我太懶,不想寫,維基條目介值定理的「現實世界中的意義」)

[ 本帖最後由 路人 於 2016-7-11 13:12 編輯 ]
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  • baby耀西 好評度 +1 感謝出trigonometric ratio(or function?)X 2016-6-26 22:10
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先說一下,以上的數學特別版我已經放了答案。
以後可能會再推出,請密切期待。(o_o)/

好吧,回到我平時的雜學問題吧。
[飲食]「土豆」一詞可以代表兩種不同的食物,是什麼?(baby耀西答對)
[運動]第一次在南美洲舉辦夏季奧運會是在哪一年?(baby耀西答對)
[旅遊]據聞迪士尼樂園裡的睡公主城堡是以新天鵝堡為原型,新天鵝堡是處於哪個國家裡?(baby耀西答對)

[ 本帖最後由 路人 於 2016-7-14 21:35 編輯 ]
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一年了……

那個……我心來血潮想了些問題,很想拿出來問大家。
所以

問之前,清一清舊問。
引用:
Q1,[旅遊]剛才路人問新天鵝堡是處於哪個國家裡,那麼我就問舊天鵝堡(高天鵝堡)位於那裡吧XDD
德國
Q2,[文字]請講出火、炎、焱、燚的其中一個意思、注音、及粵語拼音
人太懶,只答意思好了(雖然都是上網找來的)。
火:物體燃燒時的光和熱
炎:熱
焱:火花
燚:火貌
Q3,[遊戲]太鼓ソ達人 ds 7コソ島ソ大冒険中,太鼓侍(鬼)難度是多少顆星?
7星(感謝太鼓之達人維基:http://zh.taiko.wikia.com/wiki/% ... 7%E5%86%92%E9%99%BA)
===========================================================

好的,各位請。

(一)
[地理]說到「高加索三國」,指的是亞塞拜然/阿塞拜疆、喬治亞/格魯吉亞以及哪個國家?(馬力歐卡比答對)
[地理]「波羅的海三國」是指愛沙尼亞、拉脫維亞、立陶宛這三個國家,當中最北的是哪個國家?(馬力歐卡比答對)
[商業]這間瑞典公司由Ingvar Kamprad所創立,以售賣居家用品而聞名,在全球有多間分店。這間公司是?(=星之卡比=答對)
[科技]如果M是Marshmallow,N是Nougat,那麼O是什麼?(=星之卡比=答對)
[遊戲]這款卡牌遊戲,英文名為三個英文字母,在西斑牙文的意思為「1」。這款卡牌遊戲是?(=星之卡比=答對)

(二)
[化學]哪種元素的氧化物是著名的毒藥,且原子序為33?(=星之卡比=答對)
[動漫]1995年動畫《新世紀福音戰士》有個三個英文字母的簡稱,那個簡稱是?(=星之卡比=答對)
[神話]在希臘神話中,曾以蠟造的翼在天空飛,因太陽溶掉翼而跌進海中喪生的是誰?(=星之卡比=答對)
[??]我既是莎士比亞的著名悲劇,也是著名旳棋類,我是什麼?(=星之卡比=答對)
[遊戲]在遊戲《精靈寶可夢 太陽/月亮》中,來自異次元「究極空間」的寶可夢均稱為?

(三)
[語言]以上兩組問題隱藏的共通特徵是什麼?(=星之卡比=答對)

最後一道問題我心目中有個答案,但我不排除會有其他合理的答案∼

[ 本帖最後由 路人 於 2017-8-24 23:39 編輯 ]
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感謝大家的回答!所以……
系列問題系列(?)第二輯!

[地理]聯合王國(United Kingdom)有四個組成國,分別是英格蘭、蘇格蘭、威爾士和哪個國家?(=星之卡比=答對(第二個答案))
[文學]創作推理小說「伽利略系列」的是哪位日本推理作家?(=星之卡比=答對)
[語言]形容「情勢緊張,事件隨時爆發」,以「一」開頭的四字詞語是?(=星之卡比=答對)
[文學]在李白《黃鶴樓送孟浩然之廣陵》中,「煙花三月下揚州」的前一句是?(=星之卡比=答對)
[娛樂]這個日本綜藝節目的參賽者需要逃避「獵人」的追捕,參賽者在指定時間內沒被捉到的話就能獲得獎金。這個節目的名稱是?(=星之卡比=答對)
[神話]在日本民間傳說中,一大群妖怪深夜在街道上遊行的現象被稱為什麼?(=星之卡比=答對)
[??]X是中國一個地域的總稱,也是南韓首爾的一個區,還是歌手林俊傑演唱的一首歌。X是什麼?(=星之卡比=答對)
       
[遊戲]以上七問當中,格格不入的是哪一問?(=星之卡比=答對)

同上次,最後一道問題我心目中有個答案,但我不排除會有其他合理的答案。

[ 本帖最後由 路人 於 2017-8-27 13:06 編輯 ]
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《地理》
兩條河川,低位河向上侵蝕高位河,導致高位河改向,產生回春作用,這種現象叫?
河川襲奪

《歷史》
二次大戰,史達林格勒圍城戰中軸心國傷亡最大的是?
德國?
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來了來了,
系列問題系列(?)第三輯!

[數學]哪個特別的無理數是大約等於2.718281828…?
[謎語]它本身是9,添上S後是6。它是什麼?
[語言]愛因斯坦Einstein中的「stein」是「石頭」的意思,那麼「ein」又是指什麼?
[文化]原本的意思是「文化的基因」,在網絡文化上專指瞬間爆紅的事物,這個名詞是?
[體育]手球比賽中,一隊有多少人?
[地理]只有兩個國家的英文名裡面含有英文字母"x"。一個是盧森堡(Luxembourg),另一個是?
[娛樂]J-Pop是日本流行音樂,K-Pop是南韓流行音樂,那麼V-Pop是哪個地方的流行音樂 ?
[??]在符合這個系列的規律的自然數當中,最小數字是?
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抱歉隔這麼久才來答題。
這次是難得一次沒上網找資料的答題XD。


士大夫
3指南車?
4馬?

6土包子
7將
8象棋

老實說,一看到7,我就知道8的答案了XD。

[ 本帖最後由 路人 於 2017-10-5 09:48 編輯 ]
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